** Quadrilatère croisé ou non ?

Soit \(\text{ABCD}\) un quadrilatère non aplati. Soit \(\text I\) le milieu du segment \([\text{AB}]\) et \(\text J\) le milieu du segment \([\text{CD}]\).

1. a. Montrer que \(\overrightarrow{\text{IJ}} = \dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} \right) + \overrightarrow{\text{BD}}\).
    b.  Montrer que \(\overrightarrow{\text{IJ}} = -\dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} \right) + \overrightarrow{\text{AC}}\).
    c. En déduire que \(\overrightarrow{\text{IJ}} = \dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{BD}} \right)\).

2. a. Déduire une condition équivalente à \(\overrightarrow{\text{IJ}} = \overrightarrow{0}\)en s'appuyant sur la question précédente.
    b. Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère \(\text{ACBD}\) ?